今天介绍的是第 7.2 节，有关代数无理数小数展开的一个定理.

前置知识

了解极限语言的含义. 测试题：下面这个式子是什么意思？ \[\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2-n+1}{n^2+n-2}=2\].

基本概念

实代数数

有理系数多项式的复根叫做代数数.

代数数的等价定义是“实系数多项式的复根”，因为有理系数都写成分数后用分母的公倍数去乘就是一个同根的实系数多项式.

代数数不一定是实数. 是实数的代数数叫实代数数.

代数数集是可数集.

不是代数数的数（实数或复数）叫超越数. 常见的超越数有：\(e\), \(\pi\), ……

有很多数人类还不知道它是实代数数还是实超越数，比如：\(\pi + e\), \(\pi - e\), \(\pi e\), \(\frac{\pi}{e}\), \(\pi^{\pi}\), \(e^e\), \(\pi^{e}\), ……，不过 \(e^{\pi}\) 是超越数.

实数的小数展开

实数（在十进制下）总能写成小数的形式，可能是有限小数、无限循环小数（这二者统称有理数），无限不循环小数（也叫无理数），实数的小数展开就是指把实数写成小数的形式.

实代数数一定是实数：如小数展开是有限小数的实代数数（\(1.2\)）、小数展开是无限循环小数的实代数数（\(\frac{1}{7} = 0.142857142857...\)）、小数展开是无限不循环小数的实代数数（\(\sqrt{2} = 1.414213562...\)）.

实数不一定是实代数数：有限小数和无限循环小数是有理数，有理数一定是实代数数；无限不循环小数是无理数，它可能是实代数数（\(\sqrt{2}\)），也有可能不是实代数数而是实超越数（\(\pi = 3.141592653589...\)、\(e = 2.7182818284...\)）.

[小数展开的[长度为 \(n\) 的区块]]数量 \(p(n)\)

这个标题的断句为：\(p(n)\) 是一个数，表示一个数量，是区块的数量；区块是长度为 \(n\) 的区块，是某一个实数的小数展开中的[长度为 \(n\) 的区块]. 这里的“区块”不是什么数学名词，就是小数展开的一些连续的片段（去掉小数点），区块的长度就是这个片段中包含的数字的个数.

如 \(\frac{1}{7}\) 的小数展开 \(0.142857142857...\) 中，\(0\) 是区块，\(01\) 是区块，\(014\) 是区块，\(014285\) 是区块，\(8571\) 是区块. 这些区块的长度分别是 \(1, 2, 3, 6, 4\).

而从区块的长度为出发点进行分析，长度为 \(1\) 的区块有且仅有：\(0\)、\(1\)、\(4\)、\(2\)、\(8\)、\(5\)、\(7\)，共 \(7\) 个；长度为 \(2\) 的区块有且仅有：\(01\)、\(14\)、\(42\)、\(28\)、\(85\)、\(57\)、\(71\)，共 \(7\) 个. 因此对于实数 \(\frac{1}{7}\)，\(p(1) = 7, p(2) = 7\). 实际上，我们还能证明，对于这个实数，\(\forall n\in \mathbb{N}, n \ge 1, p(n) = 7\).

再如 \(\pi\) 的小数展开 \(3.141592653589...\) 中，\(3\) 是区块，\(31\) 是区块，\(314\) 是区块，\(31415926\) 是区块，\(1592\) 是区块. 这些区块的长度分别是 \(1, 2, 3, 8, 4\).

然而这时从区块的长度为出发点进行分析就比较难了，因为它的小数展开是一个无限不循环小数，我们不能很快写出 \(p(1), p(2), ...\) 是多少，也许把它展开足够多位数以后会发现 \(p(1) = 10, p(2) = 100\). 但无论如何对于一个无限不循环小数，\(p(n)\) 的表达式我们不是很容易就可以找到的.

关于 \(p(n)\) 的界限的估计

对于有理数的小数展开，一定存在一个常数 \(B\)，使得对 \(\forall n, 0 \le p(n) \le B\)（上下界均无法再更好），这是比较简单的部分. 对于无理数的小数展开，我们来估计 \(p(n)\) 的界限.

无理数小数展开的 \(p(n)\) 的下界

首先，\(p(n)\) 的下界，\(p(n) \ge n + 1\). [证明待补充.] 这个下界不能再大，比如，令 \(S_0 = 0\)，\(S_1 = 01\)，\(S_2 = S_1\cup S_0 = 010\)，\(S_3 = S_2\cup S_1 = 01001\)， …，\(S_n = S_{n-1}\cup S_{n-2}, n \ge 2\)，则按照这个规则生成的 \(S_n\) 作为小数部分，\(0\) 为整数得到的实数 \(\alpha = 0.010010100100101001010...\)，它的

• \(p(1) = 2\)（长度为 \(1\) 的片段有且只有 \(0, 1\)）
• \(p(2) = 3\)（长度为 \(2\) 的片段有且只有 \(00, 01, 10\)）
• \(p(3) = 4\)（长度为 \(3\) 的片段有且只有 \(001, 010, 100, 101\)）
• \(p(4) = 5\)（长度为 \(4\) 的片段有且只有 \(0010, 0100, 1001, 0101, 1010\)）

实际上这个实数的小数展开就有，\(p(n) = n + 1\).[证明待补充]

无理数小数展开的 \(p(n)\) 的上界

其次，\(p(n)\) 的上界. 首先我们可以容易地得到，\(p(n) \le 10^n\)，但这个上界能不能再小呢？[证明待补充]

代数无理数小数展开的 \(p(n)\) 的下界

上面界限的估计让我们觉得非常粗糙，这时我们可以把无理数缩小范围到代数无理数，对代数无理数小数展开的 \(p(n)\) 做界限估计，看看能不能得到更精细的结果.

第一个结果就是：一个代数无理数的小数展开，对任意（大）的一个常数 \(c\)，存在一个数 \(N_c\in \mathbb{N}\)，使得对任意 \(n \ge N_c\)，有 \(p(n) > n + c\) 成立. 这个结果显然比之前无理数的结果 \(p(n) \ge n + 1\) 更好（下界变大）了，因为当我们取 \(c = 1\) 时，不会有一个代数无理数的小数展开使得之前结果中的“等号”恒成立了. 同时反过来看，上面定义的无理数 \(\alpha\) 对之前结果中的“等号”恒成立，因此我们可以知道实数 \(\alpha\) 不是一个代数数而是一个超越无理数.

这个结果是 Ferenczi 和 Mauduit 在 1997 年证明的¹，它在代数无理数这个较小的范围内，把下界稍微扩大了一点.

第二个更好一点的结果就是今天要介绍的定理 7.2. 这是一个对代数无理数小数展开的下界的一个巨大的改进（提高）！

主要定理

陈述

对于任意代数无理数 \(\beta\)，任意常数 \(c\)，存在一个自然数 \(N\)，使得 \[p(n) > c\cdot n, \forall n\ge N.\] 换句话说，\[\lim_{n\to\infty}\frac{p(n)}{n} = +\infty.\]

形象的解释

我们稍微形象一点来说，对任意一个代数无理数，我们可以画出它的 \(n-p(n)\) 图像，这个定理告诉我们，这张图像不会被限制在一条过原点的直线的下方（含这条直线）！见下面 \(y = cx\) 的动图，\(n-p(n)\) 图像不会完全被限制在黄色区域里，在足够远的地方一定会落到白色区域，且对任何斜率的直线构成的黄白色区域都成立.

也就是说，\(p(n)\) 的增长速度是超过线性级别的.

与之前结果的比较

顺带，我们也用这样形象的方法来看待之前的两个下界.

最原始的下界 \(p(n) \ge n + 1\) 是对于所有无理数来说的，是说 \(n-p(n)\) 曲线一定落在 \(y = x + 1\) 的上部（含这条直线）. 见下图，\(n-p(n)\) 曲线一定会完全落在白色区域内.

把无理数范围缩小到代数无理数后得到的比较好的一个下界：【对任意（大）的一个常数 \(c\)，存在一个数 \(N_c\in \mathbb{N}\)，使得对任意 \(n \ge N_c\)，有 \(p(n) > n + c\) 成立】，是说\(n-p(n)\) 曲线一定不会被限制在某条与 \(y = x + 1\) 平行的直线（不含这条直线）下方. 见下面 \(y = x + c\) 的动图，\(n-p(n)\) 图像不会完全被限制在黄色区域里，在足够远的地方一定会落到白色区域，且对任何截距的直线构成的黄白色区域都成立.

由此可见这个结果对原始结果的改进，以及这篇文章介绍的定理对这个结果的改进，显然后者比前者有意义得多.

推广

这个定理其实可以推广到任意 \(b\) 进制（\(b \ge 2\)），而不一定非要是十进制. 在任意进制下的代数无理数的小数展开都是满足上面的定理的，\(p(n)\) 也类似地定义即可.

对原文的一些深入学习

原文是：B. Adamczewski and Y. Bugeaud, On the complexity of algebraic numbers I. Expansions in integer bases, Annals of Mathematics 165-2, (2007), 547–565.

深入学习待补充.

友情链接（该栏目下的其他文章）

1. 第 1 期：二元生成群的子群定理 - 21 世纪的定理
2. 第 2 期：代数无理数的小数展开 - 21 世纪的定理（就是这篇！）