这是我这个系列的第一篇文章，因此先简单介绍一下这个系列.

我于几天前在知乎上看到了对 Bogdan Grechuk, Theorems of the 21st Century 这套书的推荐，推荐中给了几张截图我大致看了一下，觉得是非常有意思的书，并决定要读一读. 这几天这个新博客初步建成，建站时也规划了数学科普的部分. 于是拿这套书中的材料作为这个博客的数学科普部分的开端再合适不过.

这套书由 Springer 出版发行，目前只有第一卷，且还没有纸质版出售（截至到 2019-06-30 ）. 如果您学校的图书馆购买了 Springer 数据库，则您可以到上面免费下载，当然您也可以在这里购买.¹

【本段内容来自前言】这套书的目的是介绍那些——新世纪发表在顶级数学期刊上的、（证明起来）对数学家都非常有难度的、同时却是可以以相对简单的形式（把内容）呈现给一般读者、让本科生以及理想情况下的高中生都能大致理解内容的重要定理. 这套书以年度划分章节，目前已出的第一卷介绍了共计 106 个 2001 年到 2010 年发表在 Annals of Mathematics 上的定理（有很多定理由多个主要的结果组成，这种情况下选择其中最重要或最容易接受的一个作为主要定理来讲，偶尔会再简单介绍一下其他的结果），每个定理一个小节，同一年的定理组成一章，共 10 章. 对每个定理会用 3-4 页的篇幅介绍它的形式以及它的重要性，每个定理均可单独阅读. 容易一些的定理起点很低，不需要太多前置内容；而难一点的定理至少需要本科生水平. 同时，数学的严谨性没有丢失，定理叙述本身涉及到的概念均有严格的定义，但定理的证明不在这本书的讨论范围内；不过每一节的最后会给出包含定理证明的参考文献可供深入阅读. 这本书当然还是有很多非常重要的定理没有包含进来，比如 Perelman 证明的 Poincaré 猜想因为没有发表在 Annals of Mathmatics 上²没有收录进来，还有一些是实在是太难了不好解释，2011 年及以后的也都不在这本书的计划里，看看本套书的后面几卷会不会计划一下.

我目前的打算是，每次我完全凭借个人喜好从目录里挑一篇我感兴趣的内容，读一读，然后如果开心的话额外找一些东西深入学习一下，然后用中文在这里写作. 从今天开始，大约一个月更新一次. 由于我可能会懒惰或者对读的定理没那么有兴趣，有可能在这里写的文章会完全是原文的翻译——尽管如此，做总比不做好吧，而且对我本人更加全面地接触数学的各个分支、领略最较前沿的数学问题、扩大视野也都是有好处的吧.

这次的介绍的是 10.10 二元生成群的子群定理.

前置知识

1. 知道群的定义，或者通过网络学习，能理解下面 2.1 给出的群的定义和子群的定义. 测试题：整数加群是什么样的群？它是有限群么？请给出一个整数加群的子群.
2. 对下面 2.2 - 2.3 节给出的概念能理解、掌握，并能通过简单的例子巩固加深理解这两个概念. 测试题：整数加群中单位元的阶是多少？
3. 知道什么是可数集. 测试题：有理数集是否是可数集？整数集是否是可数集？整数加群是否是可数群？

基本概念

群

群是一个集合 \(G\) 带一个运算 \(\cdot\colon G\times G\to G, (g_1, g_2)\mapsto g_1\cdot g_2\)，其中 \(g_1, g_2\in G\)，运算 \(\cdot\) 满足如下四条性质：

1. （封闭）\(g_1\cdot g_2\in G\)，对任意 \(g_1, g_2\in G\) 成立；
2. （结合）\((g_1\cdot g_2)\cdot g_3 = g_1\cdot (g_2\cdot g_3)\)，对任意 \(g_1, g_2, g_3\in G\) 成立；
3. （单位）存在单位元 \(e\in G\)，使得 \(g\cdot e = e\cdot g = g\)，对任意 \(g\in G\) 成立；
4. （有逆）对任意 \(g\in G\)，存在元素 \(g'\in G\) 使得 \(g\cdot g' = g'\cdot g = e\)，通常我们用 \(g^{-1}\) 来记这个元素.

记为群 \(\left( G, \cdot\right)\) 或简记为群 \(G\).

\(n\) 个相同元素 \(g\) 进行运算 \(g\cdot g\cdot ...\cdot g\)记为 \(g^n\).

如果群 \(G\) 中的一个子集 \(H\) 在同样的运算下也满足这四条性质，则称 \(H\) 是 \(G\) 的子群，记作 \(H \le G\).

群中元素的共轭

群 \(G\) 中两个元素 \(g_1, g_2\) 称为（互相）共轭的，如果，存在一个元素 \(h\in G\)，使得 \(g_1 = h\cdot g_2\cdot h^{-1}\).

群中元素的阶

对 \(\forall g\in G\)，如果 \(\exists r\in \mathbb{Z}^+\)，使得 \(g^r = e\)，且对 \(\forall r' < r, r'\in \mathbb{Z}^+\)，有 \(g^{r'} \neq e\)，则我们称 \(r\) 是元素 \(g\) 的阶. 如果对 \(\forall r\in \mathbb{Z}^+\)，有 \(g^r \neq e\)，则我们称元素 \(g\) 的阶是无穷.

\(\pi(G)\)

对任意群 \(G\)，我们用 \(\pi(G)\) 记 \(G\) 中所有元素的（有限的）阶数的集合，即 \(\pi(G) = \left\{ i | i\in \mathbb{Z}^+, \text{ 群 }G\text{ 中有 }i\text{ 阶的元素 } \right\}\).

可数群

一个集合是可数的，如果，这个集合可以与自然数集 \(\mathbb{N}\) 建立起一个一一对应. 一个群是可数群，如果，这个群只看作是集合是可数的.

二元生成群

由群的子集生成的子群

取群 \(G\) 的一个子集 \(S\)，则包含 \(S\) 中所有元素的 \(G\) 的最小子群称为由 \(S\) 生成的子群，记为 \(\left\langle S\right\rangle\). 它是唯一的，否则取交集，子群的交还是子群. 因此 \(\left\langle S\right\rangle = \bigcap_i H_i, S \le H_i \le G\).

另一种等价的定义是对 \(S\) 中所有元素及其在 \(G\) 中的逆元进行有限乘积得到的所有元素的集合，带上原来的群 \(G\) 中的运算得到子群 \(\left\langle S\right\rangle\).

群的生成集合

如果 \(G = \left\langle S\right\rangle\)，则我们称集合 \(S\) 生成群 \(G\)，\(S\) 是群 \(G\) 的生成集合. 群的生成集合是不唯一的.

有限生成群

一个群称为有限生成群，如果，它有一个有限的生成集合.

有限群（有有限个元素的群）必定是有限生成群，有限生成群不一定是有限群（整数加群 \(\mathbb{Z}\) ）；有无穷个元素的有限生成群必定是可数群，但可数群不一定是有限生成的（有理数加群 \(\mathbb{Q}\) ）.

二元生成群

一个群称为二元生成群，如果，它有一个含有两个元素的生成集合.

二元生成群当然有含 3 个元素的生成集合、含 4 个元素的生成集合…因此二元生成群是三元生成群，三元生成群是四元生成群…

群的嵌入

群同态与群同构

保持群的运算关系的两个群之间的映射叫做群同态. \(\phi\colon \left( G, \cdot\right)\to \left( H, \times\right)\) 是一个群同态，如果，\(\phi(g_1\cdot g_2) = \phi(g_1)\times\phi(g_2)\)，其中 \(g_1, g_2\in G\). 当 \(\phi\) 是单射时称其为单同态. 当 \(\phi\) 是满射时称其为满同态. 当 \(\phi\) 既是单同态又是满同态时称其为群同构，也称这两个群同构，记为 \(G \cong H\).

群的嵌入

如果 \(K\cong H, H \le G\)，我们称群 \(K\) 可以被嵌入到群 \(G\) 中.

主要定理

任意可数群 \(G\) 都可以嵌入到一个二元生成群 \(C\) 中，使得 \(G\) 中任意两个同阶的元素在 \(C\) 中共轭，且 \(\pi(G) = \pi(C)\).

关于这个定理的重要性【完全翻译】

这个定理是极为有用的，有一大堆有意思的推论，并且立刻解决了领域内的一些重要的开放问题. 比如，我们上面提到的，群 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) 恰好有 2 个共轭类，这个群只有 2 个元素，当然是平凡的二元生成群. 2010 年以前，是否存在其他的恰好有 2 个共轭类的二元生成群³还是一个开放问题.

对任意除单位以外的元素均是有限阶元素的群 \(G\)[这样的群称为无挠的 (torsion-free)]应用定理 10.10（这个定理），我们得到：任意无挠可数群可以嵌入到一个无挠的二元生成群中，而后者恰有 2 个共轭类. 进而，这蕴含了，存在一个不可数的集合，里面的元素都是无挠的、恰有 2 个共轭类的二元生成群，它们两两不同构. 当然这绝对在很强的程度上解决了上面提到的开放问题. 一些其他的这个定理的有意思的推论都呈现在这篇文章中：

Ref: D. Osin, Small cancellations over relatively hyperbolic groups and embedding theorems, Annals of Mathematics 172-1, (2010), 1–39.

深入一些

一点个人感受

毕竟是第一篇，今天的这个部分先写一点第一次做这个系列的感受.

本来以为会读到非常有意思的定理，学到非常多新的东西，计划也是先完全翻译文章，边翻译边学习，肯定学习过程中有一些吃力的部分，我需要额外补充阅读一些材料，这样就把我学习的东西汇总整理一下，穿插着写在文章的翻译中间. 然而阅读了这样随便一个小节之后，它和我的想象有巨大的差距——完完全全没超过本科水平，各种定义复习了一遍，以至于我完全不想翻译文章，就简单按照他的思路自己梳理了一下. 然而最后介绍完定理讲它的重要性时必要的东西又一带而过了，让人非常不爽以至于想自己去看原文.

于是我把原文下载下来，只读到第 2 页就明白了来龙去脉. 我甚至后悔没有直接读原文而是浪费时间读了这个过于简单的介绍性的文字. 我也才知道，数学的论文也许真的不难读，即便是顶刊. 它不会上来就是我看不懂的定义、符号和推理，它的介绍性的部分我们本科生是可以看得懂的.

同时我也怀疑这本书的作者 Bogdan Grechuk 有没有真正阅读每一篇内容，还是他也只是阅读了每篇文章的介绍性的文字，我查了这个作者，这是他的研究方向：

Regression analysis, Data analysis, Entropy, Game theory, Optimization under risk (portfolio optimization, convex optimization, deviation measures, coherent risk measures), Probability inequalities, Discrete optimization, Scheduling algorithms, Mathematics formalization, Formal proofs.

我未来的计划可能会有调整，可能会以看原文的介绍的部分为主，这本书只作为筛选文章和辅助的阅读.

关于这篇文章（内容来自原文第一节）

这篇文章主要是改进了以下 1949 年的文章中的结果：

[13] G. H IGMAN, B. H. N EUMANN, and H. N EUMANN , Embedding theorems for groups, J. London Math. Soc. 24 (1949), 247–254. MR 11,322d Zbl 0034.30101

在 1949 年的文章中，Higman 等人证明了可数群 \(G\) 可以嵌入到可数群 \(B\) 中，且群 \(G\) 中阶数相同的元素在群 \(B\) 中共轭. 而这里的 \(B\) 是通过某种方法构造出来的并能从这个构造方法中看出这个 \(B\) 并不是有限生成的. 同时，1949 年的文章又证明了任意可数群可以嵌入到一个二元生成群中.

这篇文章则把这两个结果同时一般化为了一个结果，也就是上面介绍的那个定理，而上面介绍的那些结果也就是我翻译的关于此定理的重要性的部分也正是马上的三个推论. 除此之外，还有一个定理和一个推论，这些其实都是可以好好介绍的.

方法概述（内容来自原文第二节）

待更新…（并不知道还会不会更新）

友情链接（该栏目下的其他文章）

1. 第 1 期：二元生成群的子群定理 - 21 世纪的定理（就是这篇！）
2. 第 2 期：代数无理数的小数展开 - 21 世纪的定理